Question

18．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B、C、D在一条直线上，BC=20m，两个观测者在点B、C两处分别测得气球A的仰角∠ABD=45°，∠ACD=60°，当气球沿与BC的平行的路线飘移10秒后至达点E，在B处测得气球的仰角为30°．
（1）求气球离地面的高度AD（精确到0.1m）；
（2）求气球飘移的平均速度（精确到0.1m/s）．

Answer 1

分析 （1）设CD=x，则AD=$\sqrt{3}$x，根据AD=BD，得出$\sqrt{3}$x=20+x，求出x=10$\sqrt{3}$+10，即可得出AD；
（2）过点E作EF⊥BD于点F，则EF=AD=10$\sqrt{3}$+30，根据tan30°=$\frac{EF}{BF}$得出BF，再根据DF=BF-BD求出DF，再根据AE=DF求出AE，最后根据气球沿与BC的平行的路线飘移10秒后至达点E，即可求出气球飘移的平均速度．

解答 解：（1）在Rt△ACD中，
∵tan∠ACD=$\frac{AD}{CD}$，
∴tan60°=$\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\sqrt{3}$，
设CD=x，则AD=$\sqrt{3}$x，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∴$\sqrt{3}$x=20+x，
x=10$\sqrt{3}$+10，
∴AD=BD=$\sqrt{3}$×（10$\sqrt{3}$+10）=10$\sqrt{3}$+30≈47.3（米），
（2）过点E作EF⊥BD于点F，
则EF=AD=10$\sqrt{3}$+30，
∵∠EBF=30°，
∴tan30°=$\frac{EF}{BF}$=$\frac{10\sqrt{3}+30}{BF}$，
BF=30+30$\sqrt{3}$，
∴AE=DF=BF-BD=30+30$\sqrt{3}$-（10$\sqrt{3}$+30）=20$\sqrt{3}$（米），
∴气球飘移的平均速度=$\frac{20\sqrt{3}}{10}$=2$\sqrt{3}$≈3.5m/s．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是本题的关键．