Question

【题目】如图，在直角坐标系内，抛物线y＝x2﹣4x﹣4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．顶点为D，对称轴与x轴的交点为E，连接BD，DC，CE．点P是抛物线在第四象限内一点，过点P作PH⊥CE，垂足为H．点F是y轴上一点，连接PF并延长交x轴于点G，过点O作OM⊥PG，垂足为M．

（1）当PH取得最大值时，求PE+PF+OF的最小值；

（2）当PE+PF+OF取得最小值时，把△OMF绕点O旋转a°（0＜a≤360°），记旋转过程中的△OMF为△OM′F′．直线M′F′与x轴的交点为K．当△OF′K是以OK为底的等腰三角形时，直接写出所有满足条件的点M′的坐标．

Answer 1

【答案】（1）PE+PF+OF的最小值＝5+；（2）点M′的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．

【解析】

（1）先求得抛物线与坐标轴的交点坐标、顶点坐标，再待定系数法求直线CE解析式，再根据平行线一次项系数相等求经过点P且平行于CE的直线解析式，解方程组求点P坐标，求PE+PF+OF最小值即求PF+OF的最小值，根据两点之间线段最短即可；

（2）△OF′K是以OK为底的等腰三角形，按照顺时针旋转可分四种情形：①点M′在第三象限，OF′＝KF′，点M′在第二象限，OF′＝KF′，③点M′在第一象限，OF′＝KF′，④点M′在第四象限，F′K＝OF′；分别讨论即可．

解：（1）在抛物线y＝x2﹣4x﹣4中，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），

令y＝0，得x2﹣4x﹣4＝0，解得：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴A（2﹣2，0），B（2+2，0）

∵y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，∴顶点D（2，﹣8），E（2，0），

易求得直线CE解析式为：y＝2x﹣4，设经过点P且平行于CE的直线解析式为y＝2x+b

由x2﹣4x﹣4＝2x+b，得x2﹣6x﹣4﹣b＝0，△＝（﹣6）2﹣4（﹣4﹣b）＝52+4b，

∵△＝0时，点P到CE的距离PH最大，∴52+4b＝0，即：b＝﹣13

∴y＝2x﹣13，解方程组得

∴P（3，﹣7）

如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵PE+PF+OF中PE是定值，

∴PE+PF+OF的最小即PF+OF最小，令FM＝OF，则PF+OF＝PF+FM＝PM

此时＝，∵∠OGF+∠GOM＝∠GOM+∠FOM＝90°

∴∠OGF＝∠FOM，

∵∠FOG＝∠FMO＝90°

∴△FOG∽△FMO

∴＝＝

∴＝

∵△GPQ∽△GFO

∴＝＝

∴QG＝，

∴G（﹣，0）

∴PG＝，GM＝

∴PM＝PG﹣GM＝，

在△PEQ中，PE＝＝＝5

∴PE+PF+OF的最小值＝5+；

（2）①如图2，点M′在第三象限，∵△OF′K是以OK为底的等腰三角形，∴OF′＝KF′＝3，F′M′＝

∴M′K＝KF′﹣F′M′＝，

∴OK＝＝＝，

设M′（m，n），则﹣nOK＝KM′M′O

∴﹣n＝×，解得：n＝﹣，

∵tan∠KOM′＝＝，即﹣×＝m

∴m＝﹣，

∴M′（﹣，﹣）；

②如图3，点M′在第二象限，OF′＝KF′，作F′H⊥x轴于H，作M′R⊥y轴于R，

∵OF′＝KF′，F′H⊥x轴

∴OH＝HK，

∵KM′＝KF′+F′M′＝3+＝，

∴OK＝＝＝

∵∠ORM′＝∠KM′O＝90°，∠ROM′+∠KOM′＝∠OKM′+∠KOM′＝90°

∴∠ROM′＝∠OKM′

∴△OM′R∽△KOM′

∴＝＝，即：＝＝

∴M′R＝，OR＝，

∴M′（﹣，）；

③如图4，作M′G⊥x轴于G，点M′在第一象限，OF′＝KF′，∵F′O＝F′K＝3，M′K＝3﹣＝，

∴OK＝＝＝，M′G＝＝＝，

∵tan∠M′OK＝＝＝＝

∴OG＝，

∴M′（，）；

④如图5，点M′在第四象限，作M′G⊥x轴于G，∵F′K＝OF′＝3

∴M′K＝M′F′+F′K＝+3＝

∴OK＝＝＝

∴M′G＝＝，OG＝＝，

∴M′（，﹣）；

综上所述，点M′的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣，）或（，）或（，﹣）．