Question

6．我市某地的一种水产品由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该水产品的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润p=-$\frac{1}{25}$（x-60）²+40（万元），当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该水产品的销售，其规划方案为：
在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该水产品只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润w=-$\frac{24}{25}$（100-x）²+$\frac{276}{5}$（100-x）+160（万元）．
（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？
（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路费用）的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）由可获得利润p=-$\frac{1}{25}$（x-60）²+40（万元），即可知当x=60时，P最大，最大值为40，继而求得5年所获利润的最大值；
（2）首先求得前两年的获利最大值，注意前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大；然后后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，即可得函数y=P+Q=[-$\frac{1}{25}$（a-60）²+40]+{-$\frac{24}{25}$[100-（100-a）]²+$\frac{276}{5}$[100-（100-a）]+160}，整理求解即可求得最大值，则可求得按规划实施，5年所获利润（扣除修路后）的最大值．

解答 解：（1）∵p=-$\frac{1}{25}$（x-60）²+40，
∴当x=60时，p取最大值40，
5年所获利润的最大值=40×5=200；

（2）∵a=-$\frac{1}{25}$＜0，
∴当x＜60时，p随x增大而增大，
∵拨出50万进行修路，
∴当地政府对该特产的销售投资为50万，
∴当x=50时，p取最大值，代入可得p=36，
则这两年在当地销售的最大利润=36×2=72；
后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100-a，
∴y=P+Q=[-$\frac{1}{25}$（a-60）²+40]+{-$\frac{24}{25}$[100-（100-a）]²+$\frac{276}{5}$[100-（100-a）]+160}
=-a²+60a+56
=-（a-30）²+956，
∴当a=30时，y最大且为956，
∴这三年的获利最大为956×3=2868（万元），
∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：72+2868-50×2=2840（万元）．

点评 此题考查了二次函数的实际应用问题．解题的关键是理解题意，找到合适函数取得最大值，是解此题的关键，还要注意后三年的最大值的求解方法．