Question

14．如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-1，0），其顶点为D．
（1）求抛物线和直线BC的解析式；
（2）设点M（3，m），求当△DMC的周长最小时m的值．

Answer 1

分析 （1）根据对称轴公式和将A的坐标代入列方程组求出b和c，写出抛物线的解析式，再根据坐标特点求与x轴和与y轴坐标的交点，利用待定系数法求直线BC的解析式；
（2）先求点C关于直线x=3的对称点C′的坐标，再求抛物线的顶点D的坐标，利用待定系数法求直线DC′的解析式，直线DC′与直线x=3的交点即是点M，这时△DMC的周长最小，因为直线x=3是CC′的垂直平分线，则CM=C′M，DM+CM=DM+MC′=DC′，所以此时DM+CM最小，即△DMC的周长最小．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=2}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-5}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为：y=x²-4x-5，
当x=0时，x²-4x-5=0，
（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1，x₂=5，
∴A（-1，0），B（5，0），
当x=0时，y=-5，
∴C（0，-5），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（5，0）和C（0，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=0}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
直线BC的解析式为：y=x-5；
（2）点C（0，-5）关于直线x=3的对称点C′（6，-5），
连接DC′，交直线x=3于点M，此时△DMC的周长最小，
y=x²-4x-5=（x-2）²-9，
∴顶点D（2，-9），
设直线DC′的解析式为：y=kx+b，
把D（2，-9）和C′（6，-5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=-9}\\{6k+b=-5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-11}\end{array}\right.$，
∴直线DC′的解析式为：y=x-11，
当x=3时，y=3-11=-8，
∴m=-8．

点评 本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，明确：①与x轴交点：把y=0代入，②与y轴交点，把x=0代入，③最短路径问题：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．