Question

13．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E，连接CD、CE，若CE是⊙O的切线．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=3，CD=4，求∠BAE的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行四边形的性质得到OC∥AB，由平行线的性质得到∠COD=∠ODA，根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠ODA，等量代换得到∠COD=∠BAE，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴∠OEC=90°，
如图1，连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC，OC=AB，OC∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠DOC，
在△EOC和△DOC中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OD}\\{∠EOC=∠DOC}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△EOC≌△DOC（SAS），
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：过D作DF⊥OC于F，如图2，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=3，
∵OD=OA=BC，
∴∠A=∠ODA，
∵OC∥AB，
∴∠COD=∠ODA，
∴∠FOD=∠A，
∴∠BAE的正切值=$\frac{CD}{OD}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质和判定，平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．