.已知:在△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.直线l经过点A.BD⊥直线l.CE⊥直线l.垂足分别为点D.E．证明:DE=BD+CE．中的条件改为:在△ABC中.AB=AC.D.A.E三点都在直线l上.且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明,若不成立.请说明理由．.D.E是直线l上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

18．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．

分析（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；
（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，所以△DEF为等边三角形．即可得到DF=EF．

解答解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠ADB=∠CEA=9{0}^{°}}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=CE+BD；
（2）成立
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，
∴∠CAE=∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CAE}\\{∠ADB=∠CEA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD+CE=AE+AD=DE；
（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，
∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FB=FA}\\{∠FBD=∠FAE}\\{BD=AE}\end{array}\right.$，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
∴DF=EF．

点评本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键．

练习册系列答案

小学毕业升学全真模拟卷内蒙古人民出版社系列答案

全优假期作业本快乐暑假系列答案

世纪夺冠导航总复习系列答案

海淀黄冈暑假作业合肥工业大学出版社系列答案

快乐暑假快乐学中原农民出版社系列答案

全程解读系列答案

天下无题系列丛书绿色假期暑假作业系列答案

小学生暑假衔接陕西师范大学出版总社系列答案

考易通暑假衔接教材新疆美术摄影出版社系列答案

超能学典暑假接力棒南京大学出版社系列答案