Question

3．如图，直线l：y=$\frac{3}{4}x+$3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ=∠BAO．
（1）点A坐标是（-4，0），点B的坐标（0，3），BC=5．
（2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由．
（3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）对于直线l解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B的坐标，根据A与C关于y轴对称确定出C坐标，利用勾股定理求出BC的长即可；
（2）由三角形APQ与三角形CBP全等，利用全等三角形对应边相等得到PQ=BC=5，由AP-OA=OP，求出OP的长，确定出P坐标即可；
（3）分三种情况考虑：当PQ=PB时，由（2）确定出此时P的坐标；当BQ=BP时，利用外角性质判断不可能；当BQ=PQ时，求出此时P的坐标即可．

解答 解：（1）对于直线l：y=$\frac{3}{4}$x+3，
令x=0，得到y=3；令y=0，得到x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），即OB=3，
∵A与C关于y轴对称，
∴C（4，0），即OC=4，
则根据勾股定理得：BC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
故答案为：（-4，0）；（0，3）；5；
（2）由△APQ≌△CBP，得到AP=BC=5，
∵A（-4，0），即OA=4，
∴OP=5-4=1，即P（1，0）；
（3）（i）当PQ=PB时，△APQ≌△CBP，
由（2）知此时点P（1，0）；
（ii）当BQ=BP时，∠BQP=∠BPQ，
∵∠BQP是△APQ的外角，
∴∠BQP＞∠BAP，
又∵∠BPQ=∠BAO，
∴这种情况不可能；
（iii）当BQ=PQ时，∠QBP=∠QPB，
又∵∠BPQ=∠BAO，
∴∠QBP=∠BAO，
∴AP=4+x，BP=$\sqrt{{x}^{2}+{3}^{2}}$，
∴4+x=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，
解得：x=-$\frac{7}{8}$．
此时点P的坐标为：（-$\frac{7}{8}$，0）．
综上，P的坐标为（1，0），（-$\frac{7}{8}$，0）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．