Question

已知a、b、c为实数，设A=a²-2b+

π

2

，B=b²-2c+

π

3

，C=c²-2a+

π

6

，证明：A、B、C中至少有一数大于0．

Answer 1

考点：配方法的应用,非负数的性质：偶次方

专题：证明题

分析：通过利用A、B、C的和大于0说明A、B、C中至少有一数大于0：利用配方法可得A+B+C=（a-1）²+（b-1）²+（c-1）²+π-3，利用非负数的性得到A+B+C＞0，然后根据有理数的性质可得到A、B、C中至少有一数大于0．

解答：证明：A+B+C=a²-2b+

π

2

+b²-2c+

π

3

+c²-2a+

π

6

=a²-2a+1+b²-2b+1+c²-2c+π-3
=（a-1）²+（b-1）²+（c-1）²+π-3，
∵，（a-1）²≥0，（b-1）²≥0，（c-1）²≥0，
而π-3＞0，
∴A+B+C＞0，
∴A、B、C中至少有一个正数，
即A、B、C中至少有一数大于0．

点评：本题考查了配方法的应用：用配方法解一元二次方程，配方法的理论依据是公式a²±2ab+b²=（a±b）²；利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．也考查了非负数的性质．