Question

若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形
B．等腰三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形

Answer 1

【答案】分析：求出x²+2ax+b²=0的两个根x₁，x₂；再求出方程x²+2cx-b²=0的两根x₃，x₄；分四种情况进行计算即可作出判断：①x₁=x₃，②x₂=x₄，③x₁=x₄，④x₂=x₃．
解答：解：解方程x²+2ax+b²=0得，
x₁==-a+，
x₂==-a-，
解方程x²+2cx-b²=0得，
x₃==-c+，
x₄==-c-，
∴方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，
∴①x₁=x₃，-a+=-c+；
移项得，c-a=-，
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=•，
两边平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），
整理得，c²+b²=a²．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x₂=x₄时，得相同结果；
③x₁=x₄时，解得，等式不成立；
④x₂=x₃时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．
点评：此题考查三角形的三边关系、一元二次方程的关系．求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．