Question

若方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，且a、b、c为一个三角形的边长，则这个三角形一定是（　　）

• A、等边三角形
• B、等腰三角形
• C、直角三角形
• D、等腰直角三角形

Answer 1

分析：求出x²+2ax+b²=0的两个根x₁，x₂；再求出方程x²+2cx-b²=0的两根x₃，x₄；分四种情况进行计算即可作出判断：①x₁=x₃，②x₂=x₄，③x₁=x₄，④x₂=x₃．

解答：解：解方程x²+2ax+b²=0得，
x₁=

-2a+ (2a)2-4b2

2

=-a+

a2-b2

，
x₂=

-2a- (2a)2-4b2

2

=-a-

a2-b2

，
解方程x²+2cx-b²=0得，
x₃=

-2c+ (2c)2+4b2

2

=-c+

c2+b2

，
x₄=

-2c- (2c)2+4b2

2

=-c-

c2+b2

，
∴方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有一个相同的根，
∴①x₁=x₃，-a+

a2-b2

=-c+

c2+b2

；
移项得，c-a=

c2+b2

-

a2-b2

，
∵a≠c，
两边平方、并整理得，ac=

c2+b2

•

a2-b2

，
两边平方得，a²c²=（c²-b²）（a²-b²），
整理得，c²+b²=a²．
根据勾股定理的逆定理，可知此三角形为直角三角形．
同理，②x₂=x₄时，得相同结果；
③x₁=x₄时，解得，等式不成立；
④x₂=x₃时，解得，等式不成立．
故三角形为直角三角形．
故选C．

点评：此题考查三角形的三边关系、一元二次方程的关系．求出方程的解，列出等式，是解题的关键．解答时要注意分类讨论．