Question

如图，已知，正△A₁B₁C₁的外接圆⊙O内切于正△ABC，若△ABC的面积是4

3

，则阴影部分的面积是
（　　）

• A、2
• B、

  3

• C、2

  3

• D、

  3

  +π

Answer 1

分析：解法（1）连接AO延长交BC于D，连接OB、OC₁，过O作OE⊥A₁C₁于E，设正△ABC的边长是a，则BD=CD=

1

2

a，根据等边三角形的性质求出OD、AD，根据三角形的面积公式和勾股定理求出BC、AD、OD，根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质求出DE、EC₁，进一步求出A₁C₁及边上的高，根据三角形的面积公式求出△A₁B₁C₁的面积，根据式子

1

3

×（△ABC的面积-△A₁B₁C₁的面积），代入求出即可．
解法（2）连接MN，根据旋转得到阴影部分的面积等于△BMN的面积，求出△BMN的面积即可．

解答：解：解法（1）
连接AO延长交BC于D，连接OB、OC₁，过O作OE⊥A₁C₁于E，
∵正三角形ABC，
∴AD⊥BC，BD=DC，
设正△ABC的边长是a，则BD=CD=

1

2

a，
根据勾股定理得：AD=

3

2

a，
∵△ABC的面积是4

3

，
∴

1

2

×a×

3

2

a=4

3

，
∴a=4，
∴BD=2，
∵O是正△ABC的内切圆的圆心，
∴∠OBC=

1

2

×60°=30°，
∴OD=

1

2

BO，
由勾股定理得：OD=

2 3

3

，
∴C₁0=

2 3

3

，
同法可求：OE=

1

2

OC₁=

3

3

，
C₁E=A₁E=1，
∴A₁C₁=2，
A₁C₁边上的高是3×

3

3

=

3

，
∴△A₁B₁C₁的面积是

1

2

×2×

3

=

3

，
∴阴影部分的面积是

1

3

×（△ABC的面积-△A₁B₁C₁的面积）=

1

3

×（4

3

-

3

）=

3

，

解法（2）
连接MN，
由（1）可知：BN=BD=2，
同法可求BN上的高MH=

3

，
∴根据旋转得出：阴影部分的面积=△BMN的面积=

1

2

BN×MH=

1

2

×2×

3

=

3

．
故选B．

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的面积，三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，含30度得直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．