Question

（2010•资阳）如图，已知点A₁，A₂，…，A₂₀₁₁在函数y=x²位于第二象限的图象上，点B₁，B₂，…，B₂₀₁₁在函数y=x²位于第一象限的图象上，点C₁，C₂，…，C₂₀₁₁在y轴的正半轴上，若四边形OA₁C₁B₁、C₁A₂C₂B₂，…，C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁都是正方形，则正方形C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁的边长为（　　）

• A．2010
• B．2011
• C．2010

  2

• D．2011

  2

Answer 1

分析：根据正方形对角线平分一组对角可得OB₁与y轴的夹角为45°，然后表示出OB₁的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B₁的坐标，然后求出OB₁的长，再根据正方形的性质求出OC₁，表示出C₁B₂的解析式，与抛物线联立求出B₂的坐标，然后求出C₁B₂的长，再求出C₁C₂的长，然后表示出C₂B₃的解析式，与抛物线联立求出B₃的坐标，然后求出C₂B₃的长，从而根据边长的变化规律解答即可．

解答：解：∵OA₁C₁B₁是正方形，
∴OB₁与y轴的夹角为45°，
∴OB₁的解析式为y=x，
联立

y=x y=x2

，
解得

x1=0 y1=0

，

x2=1 y2=1

，
∴点B₁（1，1），
OB₁=

12+12

=

2

，
∵OA₁C₁B₁是正方形，
∴OC₁=

2

OB₁=

2

×

2

=2，
∵C₁A₂C₂B₂是正方形，
∴C₁B₂的解析式为y=x+2，
联立

y=x+2 y=x2

，
解得

x1=-1 y1=1

，

x2=2 y2=4

，
∴点B₂（2，4），
C₁B₂=

22+(4-2)2

=2

2

，
∵C₁A₂C₂B₂是正方形，
∴C₁C₂=

2

C₁B₂=

2

×2

2

=4，
∴C₂B₃的解析式为y=x+（4+2）=x+6，
联立

y=x+6 y=x2

，
解得

x1=-2 y1=4

，

x2=3 y2=9

，
∴点B₃（3，9），
C₂B₃=

32+(9-6)2

=3

2

，
…，
依此类推，正方形C₂₀₁₀A₂₀₁₁C₂₀₁₁B₂₀₁₁的边长C₂₀₁₀B₂₀₁₁=2011

2

．
故选D．

点评：本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．