Question

5．如下图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED=EA．下面四个结论：
①ED是⊙O的切线；②BC=2OE；③△BOD为等边三角形；④△EOD∽△CAD
正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ②④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 如图，通过证明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易证得ED是⊙O的切线；证得OE是△ABC的中位线，证得BC=2OE，由OE∥BC，证得∠AEO=∠C，通过三角形全等证得∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，从而∠ODE=∠ADC=90°，从而证得△EOD∽△CAD．

解答 证明：如图，连接OD．
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°，即∠OAE=90°．
在△AOE与△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AE=DE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DOE（SSS），
∴∠OAE=∠ODE=90°，即OD⊥ED．
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线；
∵AB是直径，
∴AD⊥BC，
∴∠DAE+∠C=90°，
∵AE=DE，
∴∠DAE=∠ADE，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC，
∴AE=EC，
∵OA=OB，
∴OE∥BC，BC=2OE，
∴∠AEO=∠C，
∵△AOE≌△DOE，
∴∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，
∴∠ODE=ADC=90°，
∴△EOD∽△CAD．
∴正确的①②④，
故选C．

点评 本题考查了切线的判定，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质以及三角形相似的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．