Question

4．观察下列等式：
第一个等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$
第二个等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{2}}$=$\frac{1}{2×{2}^{2}}$-$\frac{1}{3×{2}^{3}}$
第三个等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}$=$\frac{1}{3×{2}^{3}}$-$\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四个等式：a4=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}$=$\frac{1}{4×{2}^{4}}$-$\frac{1}{5×{2}^{5}}$
按上述规律，回答以下问题：
（1）用含n的代数式表示第n个等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$．
（2）当平面内共有两条直线相交时，能找到一个交点P₁（如图1），当图中有三条直线两两相交时，最多能找到三个交点P₁、P₂、P₃（如图2），试回答下列问题：
①当图中有4条直线两两相交时，最多能找到几个交点？并用铅笔和直尺画出相应的图形．
②当图中有100条直线两两相交时，最多能找到多少个交点？（请列出算式，并求出结果）

Answer 1

分析 （1）利用已知的等式类比得出a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$；
（2）①4条直线两两相交，最多有1+2+3=6个交点；
②n条直线两两相交，最多有1+2+3+…+n-1=$\frac{1}{2}$n（n-1）个交点；由此代入求得答案即可．

解答 解：（1）a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）×{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n×{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）×{2}^{n+1}}$；
（2）①4条直线两两相交，最多有6个交点；

②1+2+3+…+99=$\frac{1}{2}$×99×（99+1）=4950．
答：100条直线两两相交时，最多能找到4950个交点．

点评 本题考查了图形的变化规律，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律解决问题．