Question

已知双曲线y₁=

k

x

（k＜0）与y₂=

2

x

（x＞0），过y₂图象上任意一点A作x轴、y轴的平行线分别交两坐标轴于D、E两点，交y₁图象于B、C两点，直线BC分别交两坐标轴于M、N两点，若△OMN的面积为1，求k的值．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：设点A的坐标为（m，

2

m

），则可得点B的坐标为（

mk

2

，

2

m

），点C的坐标为（m，

k

m

），求出直线BC的解析式，可得出OM的长度，易得△MON∽△CBA，利用面积比等于相似比平方可得出结论．

解答：解：设点A的坐标为（m，

2

m

），则可得点B的坐标为（

mk

2

，

2

m

），点C的坐标为（m，

k

m

），
设直线BC的解析式为y=ax+b（a≠0），将B、C的坐标代入可得：

mk 2 a+b= 2 m ma+b= k m

，
解得：

a=- 2 m2 b= k+2 m

，
∴直线BC的解析式为y=-

2

m2

x+

k+2

m

，
则可得OM=-

k+2

m

，
∵A（m，

2

m

），C（m，

k

m

），
∴AC=

2

m

-

k

m

=

2-k

m

，
∵A（m，

2

m

），B（

mk

2

，

2

m

），
∴AB=m-

mk

2

=

m(2-k)

2

，
∴S_△CBA=

1

2

AB×BC=

1

2

×

2-k

m

×

m(2-k)

2

=

(2-k)2

4

，
∵OM∥AC，
∴△MON∽△CBA，
∴

S△MON

S△CBA

=（

OM

BC

）²，即

S△MON

(2-k)2 4

=（

- 2+k m

2-k m

）²，
∴S_△MON=

(2+k)2

4

=1，解得k=0（舍去）或k=-4．
故k的值是-4．

点评：本题考查了反比例函数及一次函数的综合题，解答本题的关键是设出各点的坐标，利用相似三角形的面积比等于相似比平方得出关系式求解，计算量较大，注意细心运算．