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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;

(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)S=运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是;(3)t=或t=

【解析】

试题分析:(1)把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b、c的解析式,通过解方程组求得它们的值;

(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式.利用二次函数的图象性质进行解答;

(3)根据余弦函数,可得关于t的方程,解方程,可得答案.

试题解析:(1)点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1,A(﹣2,0),把点A(﹣2,0)、B(4,0)、点C(0,3),分别代入(a0),得,解得,所以该抛物线的解析式为:

(2)设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,MB=6﹣3t.由题意得,点C的坐标为(0,3).在RtBOC中,BC==5.如图1,过点N作NHAB于点H,NHCO,∴△BHN∽△BOC,,即HN=t,SMBN=MBHN=(6﹣3t)t,即S= =,当PBQ存在时,0t2,当t=1时,SPBQ最大=

答:运动1秒使PBQ的面积最大,最大面积是

(3)如图2,在RtOBC中,cosB=

设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,MB=6﹣3t.

MNB=90°时,cosB=,即,化简,得17t=24,解得t=

BMN=90°时,cosB=,化简,得19t=30,解得t=

综上所述:t=或t=时,MBN为直角三角形.

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