【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线(a≠0)与y轴交与点C(0,3),与x轴交于A、B两点,点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点N从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设△MBN的面积为S,点M运动时间为t,试求S与t的函数关系,并求S的最大值;
(3)在点M运动过程中,是否存在某一时刻t,使△MBN为直角三角形?若存在,求出t值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)S=,运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;(3)t=或t=.
【解析】
试题分析:(1)把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式,列出关于系数a、b、c的解析式,通过解方程组求得它们的值;
(2)设运动时间为t秒.利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式.利用二次函数的图象性质进行解答;
(3)根据余弦函数,可得关于t的方程,解方程,可得答案.
试题解析:(1)∵点B坐标为(4,0),抛物线的对称轴方程为x=1,∴A(﹣2,0),把点A(﹣2,0)、B(4,0)、点C(0,3),分别代入(a≠0),得:,解得:,所以该抛物线的解析式为:;
(2)设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.由题意得,点C的坐标为(0,3).在Rt△BOC中,BC==5.如图1,过点N作NH⊥AB于点H,∴NH∥CO,∴△BHN∽△BOC,∴,即,∴HN=t,∴S△MBN=MBHN=(6﹣3t)t,即S= =,当△PBQ存在时,0<t<2,∴当t=1时,S△PBQ最大=.
答:运动1秒使△PBQ的面积最大,最大面积是;
(3)如图2,在Rt△OBC中,cos∠B=.
设运动时间为t秒,则AM=3t,BN=t,∴MB=6﹣3t.
①当∠MNB=90°时,cos∠B=,即,化简,得17t=24,解得t=;
②当∠BMN=90°时,cos∠B=,化简,得19t=30,解得t=.
综上所述:t=或t=时,△MBN为直角三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA、OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(0,),∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为( )
A.(,) B.(2,) C.(,) D.(,3﹣)
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y1=(x+1)2+1与y2=a(x﹣4)2﹣3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于B、C两点,且D、E分别为顶点.则下列结论:①a=;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④当x>1时,y1>y2 其中正确结论的个数是( )
A. 1个B.2个C.3个D.4个
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】三角形的第一边长为3a+2b,第二边比第一边长a﹣b,第三边比第二边短2a.请用a、b式子分别表示第二边和第三边,并求这个三角形的周长(最后结果都要求最简)
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