Question

6．（1）如图（1），PT与⊙O₁相切于点T，PAB与⊙O₁相交于A、B两点，证明△PTA∽△PBT．
（2）请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O₂相交于A、B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理和相似三角形的判断方法即可证明△PTA∽△PBT；
（2）如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT²=PA•PB=PC•PD，求出PD即可解决问题．

解答 解：
（1）∵PT与⊙O₁相切于点T，
∴∠PTA=∠B，
∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT；
（2）如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．

∵PT²=PA•PB=PC•PD，
∵PA=2，PB=7，PC=3，
∴2×7=3×PD，
∴PD=$\frac{14}{3}$
∴CD=PD-PC=$\frac{14}{3}$-3=$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新知解决未知，属于中考常考题型．