Question

【题目】如图，直线与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；

（2）设点M(m,0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.

①求PN的最大值；

②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，请直接写出点M的坐标.

Answer 1

【答案】（1）点B的坐标为；抛物线的解析式为；（2）①PN的最大值为3；②若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，点M的坐标为或.

【解析】

（1）先将点A坐标代入直线解析式求出c的值，从而可求得B点坐标；再由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

（2）①利用点M坐标、直线解析式、抛物线的解析式可求出点P、N的坐标，从而可求得PN用m表示的代数式，利用二次函数的性质求最大值即可；

②要使和相似，则需分和两种情况讨论，然后利用相似三角形对应线段成比例求解即可.

（1）将代入得，解得

则直线的解析式为

令，代入得

则点B的坐标为

将代入抛物线得：

，解得

则抛物线的解析式为；

（2）①由题意得：点P、N的横坐标均为m，且

分别代入两个解析式可得两个点的坐标为：

则

当时，PN随m的增大而增大；当时，PN随m的增大而减小

则当时，PN取得最大值，最大值为3；

②在和中，

如果和相似，则或

当时，，

即

解得：（舍去）或

经检验，是方程的解

则点M的坐标为

当时，

由和两点距离公式可得：

代入得：，解得：（舍去）或

经检验，是方程的解

则点M的坐标为

综上，若以B，P，N为顶点的三角形与相似，点M的坐标为或.