Question

【题目】如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．

（1）求证：FC＝FB；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【解析】

（1）连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可．
（2）只要证明∠FCB=∠CAB即可推出CG是⊙O切线．
（2）由EF=FC，推出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，由切割线定理得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2-BF2，推出FG2-4FG-12=0，求出FG即可，再在Rt△ABF中利用勾股定理即可解决问题．

（1）证明：连接OC，BC，

∵CH∥BD，

∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，

∴

∵CE＝EH（E为CH中点），

∴BF＝DF，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠DCB＝90°，

∵BF＝DF，

∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），

即CF＝BF．

（2）证明∵BF切⊙O于B，

∴∠FBC＝∠CAB，

∵OC＝OA，CF＝BF，

∴∠FCB＝∠FBC，∠OCA＝∠OAC，

∴∠FCB＝∠CAB，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠FCB+∠BCO＝90°，

即OC⊥CG，

∴CG是⊙O切线，

（3）解：∵BF＝CF＝DF（已证），EF＝BF＝2，

∴EF＝FC，

∴∠FCE＝∠FEC，

∵∠AHE＝∠CHG＝90°，

∴∠FAH+∠AEH＝90°，∠G+∠GCH＝90°，

∵∠AEH＝∠CEF，

∴∠G＝∠FAG，

∴AF＝FG，

∵FB⊥AG，

∴AB＝BG，

∵GA是⊙O割线，AB＝BG，FB＝FE＝2，

∴由切割线定理得：（2+FG）2＝BG×AG＝2BG2，

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2＝FG2﹣BF2，

∴FG2﹣4FG﹣12＝0，

解得：FG＝6，FG＝﹣2（舍去），

由勾股定理得：

AB＝BG＝4，

∴⊙O的半径是2．