【题目】如图,是的直径,,是的两条切线,切点分别为B,C.连接交于点D,交于点E,连接.
(1)求证:;
(2)若的半径为5,,求的长.
【答案】(1)证明见详解;(2).
【解析】
(1)连接OC,易证:RtPBO~RtPCO,根据等腰三角形三线合一,可得:OE是ABC的中位线,即可得证;
(2)由勾股定理得:,由母子相似三角形,可得:PO=,进而求出PB的长.
(1)连接OC,则OB=OC,
∵,是的两条切线,
∴PB=PC,∠PBO=∠PCO=90°,
在RtPBO和RtPCO中,
∵,
∴RtPBO~RtPCO(HL),
∴∠BPO=∠CPO,
∴BE=CE(等腰三角形三线合一),
∴OE是ABC的中位线,
∴;
(2)∵OE是ABC的中位线,
∴OE∥AC,,
∴∠OEB=∠ACB=90°,
∵,
∵PB是圆的切线,
∴∠PBO=90°,
∵∠BOE=∠POB,
∴BOE~ POB,
∴,即:,
∴PO=,
∴ .
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【题目】某面粉厂生产某品牌的面粉按质量分5个档次,生产第一档(最低档次)面粉,每天能生产55吨,每吨利润1000元.生产面粉的质量每提高一个档次,每吨利润会增加200元,但每天的产量会减少5吨.
(1)若生产第档次的面粉每天的总利润为元(其中为正整数,且),求生产哪个档次的面粉时,每天的利润最大,每天的最大利润是多少元?
(2)若生产第档次的面粉一天的总利润为60000元,求该面粉的质量档次.
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【题目】已知二次函数的顶点坐标为,.
(1)若该函数图象过点.
①求该函数解析式;
②,函数图象上点到x轴的距离最小值为1,则t的值为______;
(2)若点P在函数的图象上,且,求h的最大值.
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【题目】是等边三角形,点P在的延长线上,以P为中心,将线段逆时针旋转n°()得线段,连接,.
(1)如图,若,画出当时的图形,并写出此时n的值;
(2)M为线段的中点,连接.写出一个n的值,使得对于延长线上任意一点P,总有,并说明理由.
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【题目】如图,已知点C是以AB为直径的⊙O上一点,CH⊥AB于点H,过点B作⊙O的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连接AE并延长交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
(1)求证:FC=FB;
(2)求证:CG是⊙O的切线;
(3)若FB=FE=2,求⊙O的半径.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A(6,0),抛物线的顶点为B.
(1)求该抛物线的解析式和顶点B的坐标;
(2)若动点P从原点O出发,以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动,设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时,△OPA是直角三角形?
(3)若同时有一动点M从点A出发,以2个长度单位的速度沿线段AO运动,当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动时间为t(s),连接MP,当t为何值时,四边形ABPM的面积最小?并求此最小值.
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【题目】如图,在中,,,,P是BC上一动点,过P作AP的垂线交CD于E,将翻折得到,延长FP交AB于H,连结AE,PE交AC于G.
(1)求证;
(2)当时,求AE的长;
(3)当时,求AG的长.
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