Question

【题目】如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于原点O和点A（6，0），抛物线的顶点为B．

（1）求该抛物线的解析式和顶点B的坐标；

（2）若动点P从原点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿线段OB运动，设点P运动的时间为t（s）．问当t为何值时，△OPA是直角三角形？

（3）若同时有一动点M从点A出发，以2个长度单位的速度沿线段AO运动，当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动时间为t（s），连接MP，当t为何值时，四边形ABPM的面积最小？并求此最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，（3，3）；（2）t＝3时，△OPA是直角三角形；（3）当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为

【解析】

（1）根据点O，A的坐标，利用待定系数法可求出二次函数的解析式，再将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，即可得出顶点B的坐标；

（2）由点B的坐标，利用待定系数法可求出直线OB的解析式，过点P作PC⊥x轴于点C，设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0），由tan∠POC＝可得出∠POC＝60°，结合OA的值可找出当∠APO＝90°时OP的长，由点P的运动速度为1可求出此时t的值；

（3）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t，结合点P，M的运动速度可得出0≤t≤3，由S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△POM可得出四边形ABPM的面积关于t的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解：（1）将O（0，0），A（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

，解得：，

∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x．

∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣3）2+3，

∴顶点B的坐标为（3，3）．

（2）设直线OB的解析式为y＝kx，

将B（3，3）代入y＝kx，得：3＝3k，

解得：k＝，

∴直线OB的解析式为y＝x．

过点P作PC⊥x轴于点C，如图1所示．

设点P的坐标为（x，x），则点C的坐标为（x，0）．

∵tan∠POC＝＝，

∴∠POC＝60°．

当∠APO＝90°，则cos∠POC＝＝，

∴OP＝3．

∵OP＝1×t＝3，

∴t＝3．

（3）当运动时间为t时，OP＝t，AM＝2t，PC＝t，PC＝t，OM＝6﹣2t．

∵当P、M其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动，

∴0≤t≤3．

S四边形ABPM＝S△ABO﹣S△POM，

＝OAyB﹣OMPC，

＝×6×3﹣×（6﹣2t）×t，

＝t2﹣t+9，

＝（t﹣）2+．

∵＞0，

∴当t＝时，四边形ABPM的面积取最小值，最小值为．