Question

如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是

 

．

Answer 1

考点：勾股定理,含30度角的直角三角形,解直角三角形

专题：

分析：在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后再代入三角函数进行求解，分别延长DC，AB交于点E，根据四边形ABCD的面积=S_△ADE-S_△BEC求解．

解答：解：如图，延长AB、DC交于点E．
设AD=x，据题意有∠E=30°，AE=2x，DE=

3

x，从而BE=2x-2，CE=

3

x-1．
又在Rt△CBE中，cos30°=

BE

CE

=

3

2

，即

2x-2

3 x-1

=

3

2

，
解得x=4-

3

．则DE=4

3

-3，BE=2(4-

3

)-2=6-2

3

，
∴BC=BE•tan30°=

3

3

(6-2

3

)=2

3

-2．
故S_{四边形ABCD}=

1

2

•AD•DE-

1

2

•BE•BC=

1

2

[(4-

3

)(4

3

-3)-(6-2

3

)(2

3

-2)]=

3 3

2

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：考查了勾股定理，本题通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形ABCD的面积=S_△ADE-S_△CEB来求解．