Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，将腰DA以A为旋转中心逆时针旋转90°至AE，连接BE，DE，△ABE的面积为3，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：旋转的性质,全等三角形的判定与性质,直角梯形

专题：

分析：过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，作AG⊥CD于G，根三角形的面积求出EF=3，根据旋转的性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后求出∠DAG=∠EAF，再利用“角角边”证明△AEF和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF，再根据CD=CG+DG代入数据计算即可得解．

解答：解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，作AG⊥CD于G，
S_△ABE=

1

2

AB•EF=

1

2

×2EF=3，
解得EF=3，
∵AB∥CD，AB⊥BC，
∴四边形ABCG是矩形，
∴CG=AB=2，
∴DA以A为旋转中心逆时针旋转90°至AE，
∴AD=AE，∠DAE=90°，
∴∠EAF+∠DAF=90°，
又∵∠DAG+∠DAF=90°，
∴∠DAG=∠EAF，
在△AEF和△ADG中，

∠DAG=∠EAF ∠AGD=∠F=90° AD=AE

，
∴△AEF≌△ADG（AAS），
∴DG=EF，
∴CD=CG+DG=2+3=5．
故答案为：5．

点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角梯形，熟记各性质与三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．