Question

13．如图，直线l₁：x=1，l₂：x=2，l₃：x=3，l₄：x=4，…，与函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0）的图象分别交于点A₁、A₂、A₃、A₄、…；与函数y=$\frac{5}{x}$（x＞0）的图象分别交于点B₁、B₂、B₃、B₄、…如果四边形A₁A₂B₂B₁的面积记为S₁，四边形A₂A₃B₃B₂的面积记为S₂，四边形A₃A₄B₄B₃的面积记为S₃，…，以此类推，则S₁₀的值是$\frac{63}{220}$．

Answer 1

分析 先根据直线l₁：x=1，l₂：x=2，l₃：x=3，l₄：x=4求出S₁，S₂，S₃的面积，找出规律即可得出结论．

解答 解：∵直线l₁：x=1，l₂：x=2，
∴A₁（1，$\frac{2}{1}$），B₁（1，$\frac{5}{1}$），A₂（2，$\frac{2}{2}$），B₂（2，$\frac{5}{2}$），
∴A₁B₁=$\frac{5}{1}$，A₂B₂=$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{2}$，
∴S₁=S△A1B1B 2+S△A 1A 2B 2=$\frac{1}{2}$[（$\frac{5}{1}$-$\frac{2}{1}$）+（$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{2}$）]×1；
∵l₃：x=3，
∴A₃（3，$\frac{2}{3}$），B₃（3，$\frac{5}{3}$），
∴A₃B₃=$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$=1，
∴S₂=$\frac{1}{2}$[（$\frac{5}{2}$-$\frac{2}{2}$）+（$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$）]×1；
∵l₄：x=4，
∴A₄（4，$\frac{1}{4}$），B₄（4，$\frac{5}{4}$），
∴S₃=$\frac{1}{2}$[（$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{3}$）+（$\frac{5}{4}$-$\frac{2}{4}$）]×1；
∴S_n=$\frac{1}{2}$[（$\frac{5}{n}$-$\frac{2}{n}$）+（$\frac{5}{n+1}$-$\frac{2}{n+2}$）]×1；
∴S₁₀=$\frac{1}{2}$[（$\frac{5}{10}$-$\frac{2}{10}$）+（$\frac{5}{11}$-$\frac{2}{11}$）]×1=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{10}$+$\frac{3}{11}$）×1=$\frac{63}{220}$．
故答案为：$\frac{63}{220}$．

点评 此题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及梯形的面积公式，根据题意找出规律是解答此题的关键．