Question

10．求证：$\root{3}{x+\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$+$\root{3}{x-\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=1．

Answer 1

分析 设$\sqrt{\frac{8x+1}{3}}$=a，然后表示出x=$\frac{3{a}^{2}+1}{8}$，从而得到$\frac{x+1}{3}$=$\frac{{a}^{2}+3}{8}$，然后分别表示出$\root{3}{x+\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=$\frac{a+1}{2}$和$\root{3}{x-\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=$\frac{1-a}{2}$，相加即可证得结论．

解答 解：设$\sqrt{\frac{8x+1}{3}}$=a，
则x=$\frac{3{a}^{2}+1}{8}$，
∴$\frac{x+1}{3}$=$\frac{{a}^{2}+3}{8}$，
∴$\root{3}{x+\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=$\root{3}{\frac{3{a}^{2}+1}{8}+\frac{a（{a}^{2}+3）}{8}}$=$\root{3}{\frac{{a}^{3}+3a（a+1）+1}{8}}$=$\root{3}{\frac{（a+1）^{3}}{8}}$=$\frac{a+1}{2}$；
$\root{3}{x-\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=$\root{3}{\frac{3{a}^{2}+1}{8}-\frac{a（{a}^{2}+3）}{8}}$=$\root{3}{\frac{3{a}^{2}+1-{a}^{3}-3a}{8}}$=$\root{3}{\frac{（1-a）^{3}}{8}}$=$\frac{1-a}{2}$，
∴$\root{3}{x+\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$+$\root{3}{x-\frac{x+1}{3}\sqrt{\frac{8x-1}{3}}}$=$\frac{a+1}{2}$+$\frac{1-a}{2}$=1．

点评 本题考查了有理数与无理数的概念与运算，解题的关键是能够设出未知数，并表示出x，然后将代数式中的两项化简后相加即可得到结论．