Question

3．如图所示，在△ABC中，点D是BC的中点，E、F是AC上的点，CE=AB，AF=EF，DF的延长线与BA的延长线相交于点G，求证：AG=AF．

Answer 1

分析 取BE的中点，连接DH、FH，证出HF是△ABE的中位线，HD是△BCE的中位线，由三角形中位线定理得出HF∥AB，HF=$\frac{1}{2}$AB，HD∥CE，HD=$\frac{1}{2}$CE，得出∠G=∠HFD，∠HDF=∠DFC，证出HF=HD，得出∠HFD=∠HDF，再由对顶角相等得出∠G=∠AFG，即可得出AG=AF．

解答 证明：取BE的中点，连接DH、FH，如图所示：
∵AF=EF，点D是BC的中点，
∴HF是△ABE的中位线，HD是△BCE的中位线，
∴HF∥AB，HF=$\frac{1}{2}$AB，HD∥CE，HD=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠G=∠HFD，∠HDF=∠DFC，
∵AB=CE，
∴HF=HD，
∴∠HFD=∠HDF，
∵∠AFG=∠DFC，
∴∠G=∠AFG，
∴AG=AF．

点评 本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定与性质、对顶角相等等知识；本题综合性强，有一定难度．