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【题目】如图:已知在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,点D是AB上任意一点,AE⊥AB,且AE=BD,DE与AC相交于点F.

(1)试判断△CDE的形状,并说明理由.
(2)是否存在点D,使AE=AF?如果存在,求出此时AD的长,如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:△CDE是等腰直角三角形.理由如下:

∵∠ACB=90°,AC=BC,

∴∠B=∠BAC=45°,

∵AE⊥AB,

∴∠CAE=90°﹣45°=45°,

∴∠B=∠CAE,

在△ACE和△BCD中,

∴△ACE≌△BCD(SAS),

∴CD=CE,∠ACE=∠BCD,

∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,

∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形


(2)解:存在AD=1.理由如下:

∵AE=AF,∠CAE=45°,

∴∠AEF=∠AFE= (180°﹣45°)=67.5°,

∴∠ADE=90°﹣67.5°=22.5°,

∵△CDE是等腰直角三角形,

∴∠CDE=45°,

∴∠ADC=22.5°+45°=67.5°,

在△ACD中,∠ACD=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°,

∴∠ACD=∠ADC,

∴AD=AC=1.


【解析】(1)根据等腰直角三角形的性质求出∠B=∠BAC=45°,再求出∠CAE=45°,从而得到∠B=∠CAE,再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=CE,全等三角形对应角相等可得∠ACE=∠BCD,再求出∠DCE=90°,从而得解;(2)根据等腰三角形两底角相等求出∠AEF=∠AFE=67.5°,再根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=22.5°,然后求出∠ADC=67.5°,利用三角形的内角和定理求出∠ACD=67.5°,从而得到∠ACD=∠ADC,根据等角对等边即可得到AD=AC.

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