Question

12．如图所示，P是正三角形ABC内一点，PA=2，PB=2$\sqrt{3}$，PC=4，求BC的长．

Answer 1

分析 先根据等边三角形的性质得CB=CA，∠ACB=90°，则利用旋转的定义，可把△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CDB，如图，作CH⊥BD于H，再根据旋转的性质得CD=CP═4，∠PCD=60°，BD=AP=2，于是可判断△CPD为等边三角形，得到∠PDC=60°，PD=CP=4，在△PDB中，利用勾股定理的逆定理得到∠PDB=90°，根据直角三角函数求得∠PDB=60°，然后根据平角定义可计算出∠CDH=60°，在Rt△CDH中，利用含30度的直角三角形三边的关系得DH=$\frac{1}{2}$CD=2，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，则BH=BD+DH=4，接着在Rt△BCH中，利用勾股定理计算出BC²=28，即可求得BC的长．

解答 解：∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴把△CPA绕点C逆时针旋转60°可得到△CDB，如图，作CH⊥BD于H，
∴CD=CP=4，∠PCD=60°，BD=AP=2，
∴△CPD为等边三角形，
∴∠PDC=60°，PD=CP=4，
在△PDB中，PB=2$\sqrt{3}$，BD=2，PD=4，
∵2²+（2$\sqrt{3}$）²=4²，
∴BD²+PB²=PD²，
∴△PDB为直角三角形，
∴∠PBD=90°，
∵cos∠PDB=$\frac{BD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠PDB=60°，
∴∠CDH=180°-60°-60°=60°，
在Rt△CDH中，DH=$\frac{1}{2}$CD=2，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
∴BH=BD+DH=2+2=4，
在Rt△BCH中，BC²=BH²+CH²=4²+（2$\sqrt{3}$）²=28，
∴BC=2$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．