Question

【题目】已知关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2， 抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别为位于点（2，0）的两旁，若|x1|+|x2|=2，则a的值为________．

Answer 1

【答案】﹣1

【解析】

试题由关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围．设抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，得出α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根，由抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，利用根与系数的关系确定a的取值范围；把|x1|+|x2|=2 变形后，利用根与系数的关系求出a的值．

解：∵关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0有两个不相等的实数根，

∴且，

解得：a＜0，且a≠﹣2 ①

设抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，

则α、β是关于x的方程x2﹣（2a+1）x+2a﹣5=0的两个不相等的实数根，

∵△=[﹣（2a+1）]2﹣4×1×（2a﹣5）=（2a﹣1）2+21＞0，

∴a为任意实数②

由根与系数关系得：α+β=2a+1，αβ=2a﹣5．

∵抛物线y=x2﹣（2a+1）x+2a﹣5与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，

∴α＜2，β＞2，

∴（α﹣2）（β﹣2）＜0，

∴αβ﹣2（α+β）+4＜0，

∴2a﹣5﹣2（2a+1）+4＜0

解得：a＞﹣③

由①、②、③得a的取值范围是﹣＜a＜0；

∵x1和x2是关于x的方程（a+2）x2﹣2ax+a=0的两个不相等的实数根

∴x1+x2=，x1x2=，

∵﹣＜a＜0，

∴a+2＞0，

∴x1x2=＜0．

不妨设x1＞0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|=x1﹣x2=2 ，

∴x12﹣2x1x2+x22=8，即（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴（）2﹣=8，

解这个方程，得：a1=﹣4，a2=﹣1，

经检验，a1=﹣4，a2=﹣1都是方程（）2﹣=8的根．

∵a=﹣4＜﹣，舍去，

∴a=﹣1为所求．

故答案为﹣1．