Question

已知关于x的方程x²-10x+k=0有实数根，求满足下列条件的k的值：
（1）有两个实数根；
（2）有两个正实数根；    
（3）有一个正数根和一个负数根；
（4）两个根都小于2．

Answer 1

考点：根与系数的关系,根的判别式,抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由关于x的一元二次方程x²-10x+k=0有实数根，根据根的判别式的意义可知道△≥0，求出k的取值范围，再结合一元二次方程根与系数的关系可以求得答案．
（1）有两个实数根，△≥0，即为k的取值范围；
（2）有两个正实数根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＞0，
（3）有一个正数根和一个负数根，x₁•x₂＜0，
（4）两个根都小于2，因为x₁+x₂=10，所以方程无解．

解答：解：关于x的一元二次方程x²-10x+k=0有实数根，
根据根的判别式的意义可知道△≥0，
则100-4k≥0，
解得k≤25．
（1）有两个实数根，△≥0，
根据根的判别式的意义可知道△≥0，
则100-4k≥0，
解得k≤25．
（2）有两个正实数根，x₁+x₂＞0，x₁•x₂＜0，
即：x₁+x₂=10＞0，x₁•x₂=k＞0，
故它的取值范围是0＜k＜25．
（3）有一个正数根和一个负数根，x₁•x₂＜0，
即：k＜0，
故它的取值范围是k＜0．
（4）两个根都小于2，因为x₁+x₂=10，所以方程无解．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．