Question

【题目】如图（1），已知∠EAC=90°，∠1+∠2=90，∠1=∠3，∠2=∠4．求证：

（1）DE∥BC；

（2）若将图形改变为（2）（3）（4），其他条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请选择一个图形予以证明，不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）成立，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）首先证明∠1+∠3+∠2+∠4=180°，进而证明∠D+∠B=180°，即可解决问题．

（2）如图，作辅助线，证明∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，即可解决问题．

解：（1）如图1，∵∠1=∠3，∠2=∠4，

∴∠1+∠3+∠2+∠4=2（∠1+∠2），

∵∠1+∠2=90°，

∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°；

∵∠D+∠B+∠1+∠3+∠2+∠4=360°，

∴∠D+∠B=180°，

∴DE∥BC．

（2）成立．

如图2，连接EC；

∵∠1=∠3，∠2=∠4，且∠1+∠2=90°，

∴∠3+∠4=∠1+∠2=90°；

∵∠EAC=90°，

∴∠AEC+∠ACE=180°﹣90°=90°，

∴∠AEC+∠ACE+∠3+∠4=180°，

∴DE∥BC，

即（1）中的结论仍成立．