Question

11．如图，已知△ABD是一张直角三角形纸片，其中∠A=90°，∠ADB=30°，小亮将它绕点A逆时针旋转β（0＜β＜180°）后得到△AMF，AM交直线BD于点K．
（1）当β=90°时，利用尺规在图中作出旋转后的△AMF，并直接写出直线BD与线段MF的位置关系；
（2）求△ADK为等腰三角形时β的度数．

Answer 1

分析 （1）在AB的延长线上截取AM=AD，在DA的延长线上截取AF=AB，连结FM得到△AMF，根据旋转的性质可判断直线BD与线段MF垂直；
（2）根据旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°，即β=120°．

解答 解：（1）如图，△AMF为所作，
因为△ADB绕点A逆时针旋转90°后得到△AMF，
所以BD旋转90°得到MF，
所以BD⊥MF；

（2）∵△ABD绕点A逆时针旋转β（0＜β＜180°）后得到△AMF，
∴∠MAD=β，
当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；
当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，而∠D=30°，所以∠DAK=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，即β=75°；
当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，则∠KAD=180°-30°-30°=120°，即β=120°，
综上所述，β的度数为30°或75°或120°．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决第（2）问的关键．