Question

19．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD上的三等分点．
（1）求证：△AGD≌△CHB；
（2）求证：四边形GEHF是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得到AD=CB，AD∥BC，∠ADB=∠CBD，由于G、H分别是对角线BD上的三等分点，于是得到BH=DG，结论即可得出；
（2）通过△DEH≌△BFG，即可得到EH=FG，∠DHE=∠BGF，EH∥FG，根据平行四边形的判定定理即可得到结论四边形GEHF是平行四边形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点，
∴BH=DG，
在△ADG与△CBH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{∠ADB=∠CBD}\\{DG=BH}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CBH；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴DE=BF，
∵G、H分别是对角线BD上的三等分点．
∴DH=BG，
在△DEH与△BFG中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=BF}\\{∠EDH=∠GBF}\\{DH=BG}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△BFG，
∴EH=FG，∠DHE=∠BGF，
∴∠EHG=∠FGH，
∴EH∥FG，
∴四边形GEHF是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记这些定理是解题的关键．