Question

3．已知关于x的方程x²-2（1-m）x+m²=0的两实数根为x₁，x₂．是否存在这样的实数m使方程的两实根的平方和为14？

Answer 1

分析 先利用判别式的意义得到m≤$\frac{1}{2}$，再由根与系数的关系得到x₁+x₂=2（1-m），x₁x₂=m²，接着利用完全平方公式变形x₁²+x₂²=14得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14，所以4（1-m）²-2m²=14，然后解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．

解答 解：存在．理由如下：
根据题意得△=4（1-m）²-4m²≥0，解得m≤$\frac{1}{2}$，
由根与系数的关系得到x₁+x₂=2（1-m），x₁x₂=m²，
∵x₁²+x₂²=14，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14，
∴4（1-m）²-2m²=14，
整理得m²-4m-5=0，解得m₁=5，m₂=-1，
而m≤$\frac{1}{2}$，
∴m=-1．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．注意判别式的意义．