Question

7．一个自然数a若恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=8²，64就是一个完全平方数，已知a=2001²+2001²×2002²+2002²，试说明：a是一个完全平方数．

Answer 1

分析 考虑到2001²、2002²都是数值较大的数，计算起来很不方便，因此可采用换元法，设x=2001，则2002=2001+1=x+1，然后再根据所设及题意对原式进行变形配成完全平方式．

解答 解：设x=2001，则2002=2001+1=x+1，故有：
a=x²+x²（x+1）²+（x+1）²
=x²-2x（x+1）+（x+1）²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[x-（x+1）]²+2x（x+1）+x²（x+1）²
=1+2x（x+1）+x²（x+1）²
=[1+x（x+1）]²
=[1+x+x²]²
=（1+2001+2001²）²
=4006003²，
故a是一个完全平方数．

点评 本题考查了完全平方数，在计算中巧用换元法灵活应用公式可化繁为简，起到简便计算的作用．