Question

【题目】如图，已知中，，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1) 出发2秒后，求PQ的长；

(2) 当点Q在边BC上运动时，通过计算说明PQ能否把的周长平分？

(3) 当点Q在边AC上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

【答案】（1）2cm；（2）点Q在边BC上运动时， PQ不能把△ABC的周长平分；（3）5.5秒或6秒或6.6秒．

【解析】

（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，根据勾股定理即可求得PQ的长；
（2）由勾股定理求出AC，由题意得出方程，解方程求出t，即可得出结论；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
∴PQ===2（cm）；
（2）由勾股定理得：AC===10（cm），
根据题意得：BQ=2tcm，CQ=（6-2t）cm，PA=tcm，BP=（8-t）cm，
若PQ能把△ABC的周长平分，则BQ+BP=CQ+PA+AC，
即2t+8-t=6-2t+t+10，
解得：t=4，
此时CQ=6-2t=-2，
∴t=4不合题意，
∴点Q在边BC上运动时， PQ不能把△ABC的周长平分；
（3）①当CQ=BQ时，如图1所示：

则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒；
②当CQ=BC时，如图2所示：

则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒；
③当BC=BQ时，如图3所示：

过B点作BE⊥AC于点E，
则BE===4.8（cm）
∴CE==3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．