Question

5．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，且∠C=30°，∠B=80°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）请探究∠DAE与∠B、∠C的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先计算出∠BAC的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD的度数，进而可得∠DAE的度数；
（2）由（1）知∠DAE=∠BAE-∠BAD，再把∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠BAD=90°-∠B代入整理可得答案．

解答 解：（1）∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=80°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180-（80°+30°）=70°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°；

（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
理由：由（1）可知，∠DAE=∠BAE-∠BAD，
∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$∠BAC-（90°-∠B），
=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠B），
=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180度，理清角之间的关系．