Question

【题目】如图，已知ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，E、F分别是AB，BC上的动点，EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，若△APD是直角三角形，则BF的长为_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分三种情况：①当∠PAD=90°，由平行四边形的性质得出CD=AB=3，AD=BC=5，AD∥BC，证明△ABP∽△CBA，得出，求出BP=，由轴对称的性质即可得出结果；

②当点P与C重合时，BF=PF=BP=BC=；

③当点P与C不重合时，∠APD=90°，作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF=．

分三种情况：

①当∠PAD＝90°，如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，

∴AC＝＝4，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，

∴BF＝PF＝BP＝；

②当点P与C重合时，如图2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，

∵EF⊥BC，△BEF与△PEF关于直线EF对称，

∴BF＝PF＝BP＝BC＝；

③当点P与C不重合时，∠APD＝90°，如图3所示：

作AG⊥BC于G，则EF与AG重合，BF＝；

综上所述，若△APD是直角三角形，则BF的长为 ，或或；

故答案为：或或．