Question

【题目】如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD 于点 E，BF∥OC，连接 BC 和 CF ，CF 交 AB 于点 G．

（1）求证：∠OCF=∠BCD ；

（2）若 CD=8，tan∠OCF=，求⊙O 半径的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）⊙O半径的长为5

【解析】

（1）利用垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠BCD＝∠BFC，接着根据平行线的性质得∠OCF＝∠BFC，从而得到∠OCF＝∠BCD；
（2）用垂径定理得到CE＝CD＝4，再利用tan∠OCF＝tan∠BCD＝，得到BE＝2，设OC＝OB＝x，则OE＝x1，在Rt△OCE中利用勾股定理得到x2＝（x2）2＋42，然后解方程即可．

（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵BF∥OC
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠OCF＝∠BCD；
（2）∵AB⊥CD，CD=8，
∴CE＝CD＝4，
∵∠OCF＝∠BCD
∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，

∵CE＝4
∴BE＝2，
设OC＝OB＝x，则OE＝x2，
在Rt△OCE中，∵x2＝（x2）2＋42，解得x＝5，
即⊙O半径的长为5．