Question

7．已知：如图，在边长为8的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．
（1）求证：△ABG≌△AFG；
（2）求BG的长．

Answer 1

分析 （1）先根据正方形性质得：AD=AB，∠B=∠D=90°，由对折得：AD=AF，∠D=∠AFE=90°，则AF=AB，根据HL证明△ABG≌△AFG；
（2）根据全等得：BG=FG，设BG=GF=x，在Rt△CEG中，根据勾股定理列方程解出即可．

解答 证明：（1）在正方形ABCD中，
∴AD=AB，∠D=∠B=90°
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
∴△ABG≌△AFG（HL）
（2）∵△ABG≌△AFG，
∴BG=FG，
设BG=GF=x，则GC=8-x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=ED=4
∴EG=4+x，
∴在Rt△CEG中，
4²+（8-x）²=（4+x）²，
解得x=$\frac{8}{3}$，
∴BG=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定及翻折变换，熟练掌握翻折前后的对应边、对应角分别相等，明确正方形的四边相等，且四个角是直角；在正方形中求边长时常设求知数，利用勾股定理列方程求解．