Question

15、要使平行四边形ABCD为正方形，须再添加一定的条件，添加的条件可以是

AC=BD且AC⊥BD或AB=BC且AB⊥BC等

．（填上一组符合题目要求的条件即可）

Answer 1

分析：本题是开放题，可以针对正方形的判定方法，由给出条件四边形ABCD为平行四边形，加上条件AC=BD根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到ABCD为矩形，再加上满足菱形的特点对角线AC与BD垂直，根据对角线垂直的矩形是正方形即可得证；或加上邻边AB与BC相等，根据邻边相等的平行四边形是菱形，得到ABCD为菱形，再加上AB垂直BC，即有一个角是直角的菱形为正方形，即可得证．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．

解答：解：本题答案不唯一，以下是其中两种解法：
（1）根据题意画出图形，如图所示：

添加的条件是AC=BD且AC⊥BD，此时平行四边形ABCD为正方形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．又AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）添加的条件是AB=BC且AB⊥BC，此时平行四边形ABCD为正方形，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形．又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
又∵AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AC=BD且AC⊥BD或AB=BC且AB⊥BC等．

点评：此题主要考查矩形、菱形及正方形的判定，是一道开放型题．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．