Question

【题目】如图，点O为平面直角坐标系的原点，在长方形OABC中，OC∥AB，OA∥BC，两边OC、OA分别在x轴和y轴上，且点B（a，b）满足：+（2b+6）2=0．

（1）求点B的坐标；

（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：3两部分，求点P的坐标；

（3）如图2，M为线段OC一点，且∠ABM=∠AMB，N是x轴负半轴上一动点，∠MAN的平分线AD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，试判断∠ANM与∠D的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（4，﹣3）（2）（2，0）或（0，﹣）（3）∠ANM=2∠D

【解析】

（1）利用非负数的性质即可解决问题；

（2）分两种情形分别讨论求解即可；

（3）结论：∠ANM=2∠D．作ME∥AD交AB于E．延长BA到F．利用平行线的性质，角平分线的定义即可解决问题；

（1）由题意：4﹣a=0，2b+6=0，

∴a=4，b=﹣3，

∴B（4，﹣3）．

（2）①当点P在OC上时，由题意：S△BCP：S四边形OABC=1：4，

∴CP3=×3×4，

∴PC=2．

∴OP=4﹣2=2，

∴P（2，0）．

②当点P中OA上时，S△ABP=S四边形OABC，

∴PA4=×3×4

∴PA=，

∴OP=3﹣=，

∴P（0，﹣），

综上所述，满足条件的点P坐标为（2，0）或（0，﹣）．

（3）结论：∠ANM=2∠D．

理由：作ME∥AD交AB于E．延长BA到F．

∵ME∥AD，

∴∠1=∠D，∠2=∠3，

∵AD平分∠MAN，

∴∠MAN=2∠3，

∵OC∥AB，

∴∠ABM=∠CMB，

∵∠AMB=∠CMB，

∴∠AMC=2∠AMB，

∵OC∥AB，

∴∠FAM=∠AMC=2∠AMB，

∴∠ANM=2∠AMB﹣2∠3

=2∠AMB﹣2∠2

=2（∠AMB﹣∠2）

=2∠1

=2∠D．