Question

2．如图，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3，4），且OA=OB
（1）求两个函数的解析式；   
（2）直线AB交x轴于点C，求△AOC的面积；
（3）在x轴上存在一点p，使△AOP是等腰三角形，直接写出所有符合要求的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，将A，B两点分别代入求出即可；
（2）△AOB的高是点A的横坐标3，底边是线段OB的长，所以利用函数解析式求出与y轴交点坐标，从而求出面积，
（3）已知等腰三角形POA中的一边OA，分1）OA是底边；2）OA是腰，且A是顶角的顶点；3）OA是腰，且O是顶角的顶点．三种情况进行讨论．

解答 解：（1）设直线OA为y=kx．
∵y=kx经过点（3，4），
∴3k=4，k=$\frac{4}{3}$，
∴y=$\frac{4}{3}$x．
设直线AB为y=ax+b，
∵y=ax+b经过（3，4），（0，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
∴y=3x-5．

（2）∵直线y=3x-5与x轴交于C（$\frac{5}{3}$，0），
S_△AOC=$\frac{1}{2}$|OC|×3=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{3}$×3=2.5；

（3）把（3，4）代入y₁=k₁x得到：3k₁=4，
解得：k₁=$\frac{4}{3}$，
当OA是底边时，OA的中点是（$\frac{3}{2}$，2），设过OA的中点且与OA垂直的直线的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+b，
根据题意得：b=$\frac{25}{8}$，
直线的解析式是：y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{25}{8}$，
当y=0时，x=$\frac{25}{6}$，
则P的坐标是（$\frac{25}{6}$，0）；
当OA是腰，O是顶角的顶点时，OP=OA=5，则P的坐标是（5，0）或（-5，0）；
当OA是腰，A是顶角的顶点时，AP=AO，则P与O关于x=3对称，则P的坐标是（6，0）．
则P的坐标是：（$\frac{25}{6}$，0）或（5，0）或（-5，0）或（6，0）．

点评 此题主要考查了用待定系数法解函数解析式和一次函数图象的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分类讨论得出是解题关键．