Question

如图，已知⊙O的半径为3，A是⊙O外一点，AB切⊙O于点B，切线段AB=6．
（1）利用尺规作线段AB的垂直平分线CD交AB与点C，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由（保留作图痕迹）；
（2）在⊙O上找出能与点A、B构成等腰三角形的所有的点P（在图中直接画出点P的位置即可，保留画图痕迹）．

Answer 1

解：（1）如图1所示：

结论：直线CD与⊙O相切；
证明：如图2，连接OB，作OE⊥CD于点E，
∵AB切⊙O于点B，
∴∠OBC=∠ECB=90°，
∴四边形OBCE为矩形，
∵AB=6，CD垂直平分线的AB，
∴OB=BC=3，
∴四边形OBCE是正方形，
∴OE=OB
∴直线CD是⊙O的切线．
（2）当AB为底边时，点P与点E重合，即P₁；
当AB为腰且A为顶点时，以A为圆心，以AB的长为半径作圆与⊙O交于点P₂；
当AB为腰且B为顶点时，以B为圆心，以AB的长为半径作圆与⊙O交于点P₃和P₄；
分析：（1）作出线段AB的垂直平分线CD后连接OB，作OE⊥CD于点E，证明四边形OBCE为正方形后即可证得结论；
（2）分以AB为底边、AB为腰A为顶点和AB为腰B为顶点三种情况讨论即可求得所有点．
点评：本题考查了尺规作图、等腰三角形及圆的综合知识，综合性较强，但难度不是很大，特别是确定点P的位置是一个易错点．