Question

8．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG．
（1）试判断△ECF的形状；
（2）连接CG、BG，求证：DG=BG；
（3）求∠BDG的度数．

Answer 1

分析 （1）先证明∠BEA=∠BAE=45°，得出∠CEF=45°，AB=BE，得出∠F=45°，再证出EC=FC，即可得出结论；
（2）先证明∠DCG=∠AEG，再证明△DCG≌△AEG，即可得出结论；
（3）由△DCG≌△AEG，得出∠DGC=∠BGE，证出∠BGD=∠EGC=90°，即可得出结果．

解答 （1）解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠BEA=∠BAE=45°，
∴∠CEF=45°，AB=BE，
∴∠F=90°-45°=45°，
∴EC=FC，且∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，
∵AB=BE，
∴BE=CD，
∵EC=FC，∠ECF=90°，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF=EG，∠ECG=$\frac{1}{2}$∠ECF=45°，
∴∠DCG=90°+45°=135°，
∵∠BEG=180°-45°=135°，
∴∠DCG=∠BEG，
在△DCG和△BEG中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=BE}&{\;}\\{∠DCG=∠BEG}&{\;}\\{CG=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCG≌△BEG（SAS），
∴DG=BG；
（3）解：∵△DCG≌△BEG，
∴∠DGC=∠BGE，
∴∠BGD=∠EGC=90°，
∵DG=BG，
∴∠BDG=45°．

点评 本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．