Question

20．如图，已知?ABCD，点P在对角线BD上，EF∥BC，GH∥AB，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，AD上，图中哪两个平行四边形的面积相等？试证明你的结论．

Answer 1

分析 由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明△PEB≌△BGP，△PHD≌△DFP，△ABD≌△CDB，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等．

解答 解：四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，理由如下：
∵EF∥BC，GH∥AB，
∴四边形HPFD、BEPG为平行四边形，
∴PE=BG，BE=BG，
在△PEB和△BGP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=BG}\\{BE=PG}\\{BP=PB}\end{array}\right.$
∴△PEB≌△BGP（SSS），
∴S_△PEB=S_△BGP，
同理可得S_△PHD=S_△DFP，S_△ABD=S_△CDB，
∴S_△ABD-S_△PEB-S_△PHD=S_△CDB-S_△BGP-S_△DFP，
即S_{四边形AEPH}=S_{四边形PFCG}．

点评 本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行?四边形为平行四边形，②两组对边分别相等?四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等?四边形为平行四边形，④两组对角分别相等?四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分?四边形为平行四边形．