Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为线段AC上的一点（不和点A、C重合），点E在线段BD的延长线，点F在线段BD上，连接CE、CF、AE，且∠ECF=90°，CE=CF，过点F作FG⊥BD分别交线段BC、线段AC的延长线于点P、G．

（1）如图l，求证：AC=CG；
（2）如图2，延长线段GF交线段AB于点H，连接DH，当AH=BH时，求证：∠BHG=∠AHD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠FCG=∠ECB，∠DBC=∠DGF；进而证明△BCE≌△GCF，问题即可解决．
（2）首先证明△BCE≌△GCF，得到AD=BP；证明△AHD≌△BHP，问题即可解决．

解答：解：（1）证明：如图1
∵∠BCG=180°-∠ACB=90°=∠ECF
∴∠BCG+∠BCF=∠ECF+∠BCF，即∠FCG=∠ECB；
∵FG⊥BD，
∴∠DFG=90°，
∴∠DBC+∠BDG=90°，
又∵∠DGF+∠BDG=90°，
∴∠DBC=∠DGF；
在△BCE和△GCF中，

∠ECB=∠FCG ∠EBC=∠FGC CE=CF

，
∴△BCE≌△GCF（AAS），
∴CB=CG，
又∵AC=CB，
∴AC=CG．
（2）如图2，证明：
在△BDC与△GPC中，

∠DCB=∠PCG CB=CG ∠DBC=∠PGC

，
∴△BDC≌△GPC（ASA），
∴CD=CP，而AC=BC，
∴AD=BP；
∵AC=BC，
∴∠A=∠B；
在△AHD与△BHP中，

AH=BH ∠HAD=∠HBP AD=BP

，
∴△AHD≌△BHP（SAS），
∴∠BHG=∠AHD．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是深入分析、大胆猜测、合理推断、科学论证．