Question

如图，已知AB=2的线段在线段MN上左右平移，MN=5，以A为中心顺时针旋转针M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点，构成△ABC，设AM=x．
（1）求x的取值范围；
（2）探究：△ABC是否可能为等腰三角形？若可能，求出此时x的值，不可能请说明理由．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,三角形三边关系

专题：

分析：（1）由旋转可得到AC=MA=x，BC=BN=3-x，利用三角形三边关系可求得x的取值范围；
（2）分AC=BC、AC=AB，BC=AB三种情况分别求出x的值，再根据三角形三边关系进行验证即可．

解答：解：
（1）∵AB=2，MN=5，
∴MA+BN=3，
由题意可知AC=AM=x，BC=BN=3-x，
由三角形三边关系可得

x-(3-x)＜2 3-x-x＜2

，
解得

1

2

＜x＜

5

2

；
（2）当△ABC为等腰三角形时，有AC=BC、AC=AB或BC=AB，
当AC=BC时，即x=3-x，解得x=1.5，满足三角形三边关系，符合条件；
当AC=AB时，即x=2，则BC=1，满足三角形三边关系，符合条件；
当BC=AB=2时，即3-x=2，解得x=1，则BC=2，满足三角形三边关系；
综上可知当x的值为1或2或1.5时，△ABC为等腰三角形．

点评：本题主要考查等腰三角形的判定和三角形的三边关系，分三种情况进行讨论分别求出x的范围是解题的关键，注意利用三角形三边关系进行验证．