Question

如图，平行四边形ABCD的边CD的垂直平分线与边DA，BC的延长线分别交于点E，F，与边CD交于点O，连结CE，DF．

（1）求证：DE=CF；

（2）请判断四边形ECFD的形状，并证明你的结论．

 

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）四边形ECFD是菱形，证明详见解析

【解析】

试题分析：（1）通过AAS证得△EOD≌△FOC，故全等三角形的对应边相等：DE=CF；

（2）四边形ECFD是菱形．通过证明DE=EC=CF=DF，得到四边形ABCD是菱形．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠EDO=∠FCO，∠DEO=∠CFO，

又∵EF平分CD，

∴DO=CO，

在△EOD与△FOC中，

∴△EOD≌△FOC（AAS），

∴DE=CF；

（2）结论：四边形ECFD是菱形．

证明：∵EF是CD的垂直平分线，

∴DE=EC，CF=DF，

又∵DE=CF，

∴DE=EC=CF=DF，

∴四边形ECFD是菱形．

考点：1.菱形的判定；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的性质