Question

如图，一张直角三角形硬纸片ABC，∠B=90°，AB=5，AC=13，将纸片顶点B放在半径为2.4的⊙O上，并使BC经过圆心O，在⊙O不动的情况下，将纸片绕着B按顺时针方向旋转．
（1）当旋转角的度数等于∠A的度数时，得到△A₁BC₁，问直线A₁C₁与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
（2）在（1）的状态下，再继续旋转∠C的度数，得到△A₂BC₂，那么A₂C₂与⊙O的位置关系是否发生变化？通过计算或推理说明你的理由．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,旋转的性质

专题：常规题型

分析：（1）先利用勾股定理计算出BC=12，再利用旋转的性质得∠A=∠A₁，∠ABA₁等于旋转角，BC₁=BC=12，BA₁=BA=5，A₁C₁=AC=13，则∠ABA₁=∠A，所以∠ABA₁=∠A₁，可判断A₁C₁∥AB，则BD⊥A₁C₁，软件利用面积法可计算出BD=

60

13

，由于BD＜2.4×2，则根据直线与圆的位置关系可判断直线A₁C₁与⊙O相交；
（2）在（1）的状态下，再继续旋转∠C的度数，得到△A₂BC₂，则BA₂在BC上，BC₂在AB的延长线上，如图3，作OH⊥A₂C₂于H，A₂O=5-2.4=2.6，易得△OHA₂∽△C₂BA₂，利用相似比计算出OH=2.4，则根据直线与圆的位置关系可判断A₂C₂与⊙O相切．

解答：解：（1）直线A₁C₁与⊙O相交．理由如下：
∵∠B=90°，AB=5，AC=13，
∴BC=

AC2-AB2

=12，
∵△ABC绕着B按顺时针方向旋转得到△A₁BC₁，
∴∠A=∠A₁，∠ABA₁等于旋转角，BC₁=BC=12，BA₁=BA=5，A₁C₁=AC=13，
∴∠ABA₁=∠A，
∴∠ABA₁=∠A₁，
∴A₁C₁∥AB，
∴BD⊥A₁C₁，
∵

1

2

BD•A₁C₁=

1

2

BA₁•BC₁，
∴BD=

5×12

13

=

60

13

，
∵BD＜2.4×2，
∴直线A₁C₁与⊙O相交；
（2）A₂C₂与⊙O的位置关系发生变化．理由如下：
在（1）的状态下，再继续旋转∠C的度数，得到△A₂BC₂，则BA₂在BC上，BC₂在AB的延长线上，如图3，
作OH⊥A₂C₂于H，A₂O=5-2.4=2.6，
∵△OHA₂∽△C₂BA₂，
∴

OH

BC2

=

A2O

A2C2

，即

OH

12

=

2.6

13

，
∴OH=2.4，
即点O到A₂C₂的距离等于圆的半径，
∴A₂C₂与⊙O相切．

点评：本题考查了直线与圆的位置关系：判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交?d＜r；直线l和⊙O相切?d=r；直线l和⊙O相离?d＞r．也考查了旋转的性质．